카메라 - 투영 보정 매핑

- 7월 19, 2020

1. 투영 보정 매핑

1) 문제점

앞전에 원근 투영에 대해 알아보았습니다.

하지만 그대로 사용하면 문제가 한 가지 있습니다.

바로 투영된 무게 중심 좌표가 달라지는 문제입니다.

이전에는 선으로만 3D 큐브를 그려서 별로 티는 안났지만 텍스처가 입혀지면 다릅니다.

스티브의 얼굴이 찌그러져서 매핑된 것을 볼 수 있습니다.

위의 그림을 보면 프러스텀 각 끝 영역에 걸친 초록색 물체가 투영된 P1, P2의 가운데 위치한 P의 무게 중심 좌표는 0.5입니다.

하지만 초록색 물체를 보면 실제 무게 중심 좌표는 0.5가 아닙니다.

그래서 맨 위의 사진처럼 스티브의 얼굴이 카메라의 각도에 따라 찌그러집니다.

이런 현상을 해결하기 위해서는 실제 물체의 무개 중심 좌표가 필요합니다.

이러한 역할을 하는게 투영 보정 매핑 (Perspective Correction Mapping)이라고 합니다.

2) 해결 방법 및 원리

일단 현재 알고 있는 것들은

NDC 좌표계로 산출된 무게 중심값 $(1-s-t, s, t)$

삼각형의 각 점의 NDC 좌표와 Clip 좌표계의 $-view_z$ 값

NDC 좌표의 중심 좌표를 q라고 보고 실제 중심 좌표를 t 라고 볼때

q를 기반으로 t의 값을 구하게 됩니다.

우선 한가지 특징을 알고 넘어가야 합니다.

위에서 Clip 좌표계를 NDC 좌표계로 바꿀때 $w_c$ 의 값 즉 $-view_z$ 의 값을 나누어 줍니다.

이것으로 NDC 좌표계는 $-view_z$ 의 값에 반비례 한다는 것을 알 수 있습니다.

즉 뷰가 커질 수록(물체가 카메라로 부터 멀어짐) NDC의 좌표 값은 작아지고

뷰가 작아질 수록(물체가 카메라로 부터 가까워짐) NDC 좌표 값은 커집니다.

다음은 그래프로 조금 더 자세하게 알아보겠습니다.

원근 투영 최종 행렬을 곱한 Clip 좌표계를 NDC 좌표계로 바꿀 때, $w_c$ 값을 나누어 주는 과정을 거칩니다.

점 $v_0$ (0,1,2) 와 점 $v_1$ (0,1,6)가 있습니다. 이때 그래프를 보면 이 점들 사이의 중점은 (0,1,4) 입니다.

이를 투영하면 각각 다음과 같이 볼 수 있습니다.

$(0,\frac{1}{2}),(0,\frac{1}{4}),(0,\frac{1}{6})$

하지만 투영 후의 값으로 보간한다면 $(1-s-t)$ 이기 때문에 중점 값이

$(0,\frac{1}{3})$

이 되버립니다. 하지만 위의 값은 실제 무게 중심 값과 틀리게 나옵니다.

따라서 이 내용들을 기반으로 실제 값을 찾아내야 합니다.

일단 쉽게 두 점에 대하여 생각해보겠습니다.

NDC 좌표 값으로부터 산출된 비율 값으로 보간된 z'를 구하는 식을 적으면 다음과 같습니다.

$\frac{1}{z'} = \frac{1}{z_0} + q (\frac{1}{z_1} - \frac{1}{z_0})$

이를 뷰 좌표계의 실제 비율 t 값으로 구하는 경우에는 다음과 같이 볼 수 있습니다.

$z' = z_0 + t(z_1 - z_0)$

이때 위의 수식을 뒤집으면

$\frac{1}{z'} = \frac{1}{z_0 + t(z_1 - z_0)}$

가 되고 이 수식은 다음과 같이 볼 수 있습니다.

$\frac{1}{z'} = \frac{1}{z_0} + q(\frac{1}{z_1}-\frac{1}{z_0}) = \frac{1}{z_0 + t(z_1 - z_0)}$

이때 q와 t의 관계를 구하면 먼저 q는

$q(\frac{z_0-z_1}{z_0z_1}) = \frac{-t(z_1-z_0)}{z_0(z_0 + t(z_1 - z_0))}$

$q = \frac{t(-z_1+z_0)}{z_0(z_0 + t(z_1 - z_0))} \times (\frac{z_0z_1}{z_0-z_1})$

$\therefore q = \frac{z_1t}{(z_0 + t(z_1 - z_0))}$

t의 값은

$t = \frac{q \cdot z_0}{q \cdot z_0 + (1-q)\cdot z_1}$

이제 t의 값을 구하는 수식이 나왔습니다.

하지만 위의 수식은 두개의 점에 대한 것이기 때문에 3개의 점일 경우를 봐야합니다.

이건 간단합니다.

보정 전 산출된 무개 중심값은 $(1-s-t, s, t)$ 와 같습니다. 즉 세점에 대한 보정된 무개 중심 좌표는 다음과 같이 구성됩니다.

$t_s = \frac{q_s \cdot z_0}{q_s \cdot z_0 + q_t \cdot z_1 + (1-q_s-q_t) \cdot z_2}$

$t_s = \frac{q_t \cdot z_1}{q_s \cdot z_0 + q_t \cdot z_1 + (1-q_s-q_t) \cdot z_2}$

$t_s = \frac{(1-q_s-q_t) \cdot z_2}{q_s \cdot z_0 + q_t \cdot z_1 + (1-q_s-q_t) \cdot z_2}$

3) 구현

이제 구현 후 스티브의 얼굴이 정상적으로 나오는 것을 볼 수 있습니다.

여담...

처음 직접 구현했을 때는 아래의 구문 밖에서 즉 그리지 않아도 되는 부분에서도

보정 매핑 연산을 진행했다.

if (((s >= 0.f) && (s <= 1.f)) && ((t >= 0.f) && (t <= 1.f)) && ((oneMinusST >= 0.f) && (oneMinusST <= 1.f)))

하지만 교수님의 코드를 보고 아! 굳이 그려도 되지 않아도 되는 부분은 안 해줘도 되는구나..

라고 생각하고 코드를 바꿨다.

이런 거 하나하나가 최적화에 정말 중요할 것 같고 왜 이론을 잘 알아야 되는지 다시 한번 깨달았다.

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